Meidän vitoseen tähtäävien olisi siis määrässä, jeesata muita.
Matikan läksyinähän oli lineaarisien yhtälöparien laskuja.
Tässä hieman matskua. Olkaatten hyvät!
Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen
Esitiedot:lineaarisen yhtälön ratkaiseminen Määritelmä 8. Kahdesta kahden muuttujan lineaarisesta yhtälöstä voidaan muodostaa kahden muuttujen lineaarinen yhtälöpari
. Tällaisen yhtälöparin
ratkaisujoukko on yksittäisten lineaaristen
yhtälöiden ratkaisujoukkojen
leikkaus. Tästä yhtälöparista käytetään merkintää ( 5 )
![]()
Sen
ratkaisujoukko siis koostuu sellaisista lukupareista (
x,
y), jotka toteuttavat molemmat
yhtälöt. Tällaisia lukupareja sanotaan yhtälöparin ratkaisuiksi. Yllä olevan mukaisesti kahden muuttujan lineaarisen yhtälöparin ratkaisemisella tarkoitetaan sen
ratkaisujoukon määrittämistä. Ratkaisemisen periaate on sama kuin
yhtälöiden kohdalla: Muodostetaan alkuperäisen yhtälöparin kanssa yhtäpitäviä yhtälöpareja, kunnes päädytään sellaiseen, jonka ratkaisujoukko on
suoraan todettavissa. Tässä pykälässä tarkastellaan kolmea eri ratkaisumenetelmää. Näissä tarkasteluissa viitataan kaavan ( 5 ) merkintöihin.
Menetelmä 1. Vertailukeinoa
käytettäessä ratkaistaan parin molemmat
yhtälöt toisen muuttujan (esimerkiksi
y:n) suhteen.
Yhtälöiden toiset puolet (eli muuttujat
y) ovat tällöin samat, joten myös
yhtälöiden x:n sisältävät puolet ovat samat. Näistä saadaan yhden muuttujan
yhtälö. Tällöin siis toinen muuttuja on eliminoitu. Saadun yhtälön rinnalla yhtälöpariin täytyy ottaa jompi kumpi
y:n suhteen ratkaistussa muodossa olevista
yhtälöista. Esimerkki 7. Ratkaistaan yhtälöpari vertailukeinolla.


![]()
![]()
Ratkaisujoukko ![]()
.
Menetelmä 2. Sijoituskeinoa
käytettäessä ratkaistaan jompikumpi
yhtälöistä toisen muuttujan (esimerkiksi
x:n) suhteen. Sijoitetaan saatu
lauseke toiseen
yhtälöön x:n paikalle, jolloin saadaan yhden muuttujan
yhtälö. Toiseksi yhtälöksi pariin on kätevintä ottaa mainittu ratkaistussa muodossa oleva yhtälö.
Esimerkki 8. Ratkaistaan yhtälöpari sijoituskeinolla.
![]()
![]()
![]()
![]()
Ratkaisujoukko Rj = {(3, 1)}.
Menetelmä 3. Yhteenlaskukeinossa
kerrotaan
yhtälöt puolittain siten valituilla luvuilla, että yhtälöissä saadaan toisen muuttujan kertoimiksi
vastaluvut. Laskemalla saaduissa yhtälöissä keskenään oikeat puolet ja vasemmat puolet yhteen päädytään yhden muutujan yhtälöön. Parin toiseksi yhtälöksi voidaan ottaa jompikumpi alkuperäisistä yhtälöistä.
Esimerkki 9. Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla.
![]()
![]()
![]()
![]()
Huomautus: Lineaarisella yhtälöryhmällä on aina joko täsmälleen yksi ratkaisu tai ääretön määrä ratkaisuja tai ei yhtään ratkaisua.
Esimerkki 10. Ratkaistaan yhtälöryhmä yhteenlaskukeinolla.
![]()
![]()
Yhteenlaskun tuloksena saadaan
yhtälö 0 = 6, joka on identtisesti epätosi. Ei ole siis olemassa muuttujien
x ja
y paria, joka toteuttaisi yhtaikaa molemmat
yhtälöt ja siten
Rj = Ø.
Esimerkki 11. Ratkaistaan yhtälöryhmä vertailukeinolla.
![]()
![]()
![]()
![]()
Jälkimmäinen
yhtälö 0 = 0 on identtisesti tosi, joten ratkaisuja on ääretön määrät, mutta muuttujia
x ja
y ei kuitenkaan voida valita täysin mielivaltaisesti, vaan niiden on toteutettava yhtälöryhmän
yhtälöt. Tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi muuttujalle
y voidaan valita mielivaltaisesti jokin arvo ja sen avulla laskea x:n arvo.
Ratkaisujoukko voidaan esittää muodossa
![]()
.
Tehtävä 3. Ratkaise yhtälöparit: a)
![]()
b)
![]()
c)