DETERMINANTTI

"tajuttava" selitys kaikille....

Geometrisesti determinantilla tarkoitetaan sen sisältäminen vektoreiden virittämää n-ulotteista volyymiä. Eli yksi vektori (1x1-matriisi) virittää pituuden, kaksi vektoria (2x2-matriisi) virittää pinta-alan ja kolme (3x3-matriisi) tilavuuden nje.. Ja volyymin kautta näkee heti, että jos osa vektoreista on saman suuntaisia, niin volyymi on nolla, esim. kaksi samansuuntaista suoraa ei muodosta pinta-alaa.

Algebran selitys sitten onkin melko abstrakti. Monet lukevat asian oppikirjoista, mutteivat siittä huolimatta tajua mikä se determinantti loppupeleissä on. Selitän sen tässä esimerkin varjolla, niin että jokainen oppii.

3x3-matriisi A (determinantissahan on aina neliämatriisi)

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Ennen kuin aletaan määrittelemään algebralista determinanttia, niin olisi hyvä olla perillä permutaatioista.

Esimerkiksi joukolla (1 2 3) on 6 ERILAISTA permutaatiota, eli suomeksi sanottuna "tapaa järjestyä". Nyt esitetään yksi permutaatio: (1 2 3) --> (3 2 1), eli 1 ja 3 vaihtavat paikkaa ja siirto määriä oli vain yksi.
Jos (1 2 3 4) --> (4 3 2 1), niin siirtoja tarvitaan 2. Kaikille joukoille siirtomäärä alkutilanteesta haluttuun järjestykseen on aina parillinen tai pariton. Jos on tumpelo ja käyttää permutaatioon (1 2 3 4) --> (4 3 2 1) enemmän kuin 2 siirtoa, niin ei hätää: siirtomäärä on kuitenkin parillinen vaikka kuinka kauan pyörittelisi (tärkeä yksikäsitteisyys). Nyt sovitaan, että parillinen siirtomäärä saa arvon "+1" ja pariton siirtomäärä arvon "-1", niin voidaan lopultakin käydä asiaan!

(1 2 3) -> (1 2 3) +1
(1 2 3) -> (1 3 2) -1
(1 2 3) -> (2 1 3) -1
(1 2 3) -> (2 3 1) +1
(1 2 3) -> (3 1 2) +1
(1 2 3) -> (3 2 1) -1

Siinä on joukon (1 2 3) kaikki permutaatiot ja jäljessä oleva luku kertoo vaaditaanko siirtoihin parillinen vaiko pariton määrä siirtoja.

Nyt sitten meidän matriisille muodostetaan determinantti. Kirjoitetaan kertolaskuja alkioille "a" siten että ensimmäiset luvut ovat 1,2,3
eli (a1x*a2y*a3z) ja seuraavat luvut ovat uudelleen järjestelyitä luvuista 1,2,3. Nyt siis mietit millä kaikilla tavoilla lukuja 1,2,3 voidaan uudelleen järjestää x, y ja z paikoille. Mutta hei, juuri ylhäällä ne on laskettuna ja niitä on tietenkin 6 kappaletta.

a11*a22*a33
a11*a23*a32
a12*a21*a33
a12*a23*a31
a13*a21*a32
a13*a22*a31

Siinä on täsmälleen samat permutaatiot kuin aikaisemmassa esimerkissä.
Esim. a11*a22*a33 --> a11*a23*a32, 1 siirto, eli pariton ja "-1". Nyt vain merkitään parillisuus tai parittomuus noihin kertolaskuihin laittamalla joko "+1" tai "-1" etumerkeiksi. Siis a11*a23*a32 --> -a11*a23*a32. Ja näin tehdään kaikille ja kertolaskujen summasta muodostuu algebralinen determinantti!

detA = +a11*a22*a33 -a11*a23*a32 -a12*a21*a33
+a12*a23*a31 +a13*a21*a32 -a13*a22*a31

Nyt jo varmasti ymmärrät mistä determinantissa on kyse. Se miten determinantteja käytetään tai miten niiden arvoja voidaan helposti laskea (siis ei tällä määritelmän tavalla) on toinen kysymys, mutta arvon laskemiseksi on kehitetty elämää helpottavia tapoja.

3x3-matriisin determinantin laskemiseksi tarvitsee laskea siis 3! eli 1x2x3=6 termiä yhteen. 4x4-matriisin laskemiseksi taas 4!=24 eri termiä(siis yksi termi esim. a11*a12*a13*a14 --> a14*a12*a13*a11 -1), ja yleisen nxn-matriisin laskemiseksi n! termiä. Lisäksi mitään kaavaa determinantin laskemiseksi helposti ei ole olemassa, eli joka tapauksessa suuren matriisin determinantin laskemiseen käsipelillä menee aikaa.

Tässä siis lyhyesti, mutta ainakin esitys pitäisi olla sellainen että vasta matriiseihin tutustunut ihminen tajuaa varmasti mistä on kyse. Ja nyt kun on ymmärrys siittä, mitä ihmettä oikein determinantilla tarkoitetaan, niin voi lähteä opiskelemaan kaikkia niitä 'vaikeatajuisia' määritelmiä ja ominaisuuksia.